教学大纲

一、总则 高等代数是数学系各专业开设的一门基础课．它不仅是应用学科的重要工具课，而且在近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课，特别是随着当今电脑科技的发展，更加显示出高等代数作用．因此，高等代数的教学内容需要进一步充实，教学大纲也需要修订．本教学大纲是依据全国通用《高等代数教学大纲》并根据我校实际情况进行修订的．较原大纲更详细，具有一定的指导性．

1、本课程的教学目的和要求：本课程的教学目的和要求是通过这门课的学习，使学掌握高等代数的基本知识，掌握基本方法，基本思路，了解高等代数课程的一些数学，从而为进一步学习专业课打下良好的基础．培养学生独立思维能力和解决实际问题能力．

2、本课程的主要内容：本课程分线性代数和以一元多项式为主体的多项式理论两部分．线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、λ一矩阵、欧几里得空间和双线性函数．

3、教学重点与难点：本课程教学重点应放在线性代数理论和多项式理论．线性代数部分则较为系统地介绍了线性方程组，线性空间与线性变换理论．本课程的难点有行列式的Laplace定理的展开定理，线性变换的值域与核、线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，λ一矩阵和Jordan标准形的推导等；多项式理论以一元多项式的因式分解唯一性定理为主体介绍了有关多项式方程的一些必要的知识，为后继课提供准备．

4、本课程的知识范围及与相关课程的关系：本课程是初等代数的继续与提高，在此基础上可继续学习后续课：近世代数、多重线性代数、微电脑方面及运筹方面的知识．

5、教材：姚慕生编著，高等代数，复旦大学出版社，第一版

二、课程内容及学时分配 本课程开课时间：第一学年（共三学期），共204学时

第一章       行列式（15学时） 1、教学内容：定义了n阶行列式，给出行列式的七个性质和Gramer法则、Laplace定理．2、教学目的和要求：通过本章学习，使学生熟练掌握计算行列式的三种方法：利用定义、利用性质、降阶，并会运用Gramer法则求线性方程组的解．3、教学重点：重点讲授n阶行列式的定义和一些计算技巧及关于Gramer法则应用要强调解方程组的前提条件．4、教学难点：Laplace定理，行列式乘法规则．5、各章节教学时间分配及进度安排:6、主要教学环节的组织:§1行列式的定义：余子式，代数余子式，按列展开，n阶行列式；§2 行列式的性质；§3 Cramer法则；§4 行列式按行展开与转置；§5 行列式的计算；§6 行列式的等价定义：n级排列，逆序数，偶(奇)排列，排列的奇偶性；§7 Laplace 定理.

第二章       矩阵（15学时）1、教学内容：引入矩阵和初等变换的概念、基本运算，对逆矩阵和分块矩阵进行了详尽描述．2、教学目的及要求：使学生熟练掌握矩阵的基本运算和初等变换的应用．3、教学重点：矩阵的乘法规则及可逆矩阵求逆的方法要重点掌握．4、教学难点：理解初等变换与矩阵乘法的联系和几种求逆矩阵的方法．5、各章节教学时间分配进度安排：6、主要教学环节的组织：§1矩阵的概念；§2矩阵的运算：矩阵的运算规则，矩阵的转置；§3方阵的逆阵：可逆矩阵，逆矩阵的运算规则，伴随矩阵；§4 矩阵的初等变换与初等矩阵：矩阵的初等变换，矩阵的相抵（等价），相抵标准型，初等矩阵；§4 矩阵乘积的行列式与矩阵初等变换法求逆阵；§5分块矩阵：分块矩阵的计算，分块矩阵的转置，降阶公式；§7 Cauchy-Binet公式及其应用.

第三章       线性空间（24学时）1、教学内容：通过介绍基本概念，引出基变换和坐标变换，对线性空间和子空间进行了详尽地分析。应用线性空间的理论，研究了矩阵的秩以及线性方程组的求解．2、教学目的及要求：分别从线性空间内部——线性空间元素与元素之间关系、子结构的研究和外部——线性映射和线性变换的研究，体会代数学中研究代数结构的基本思路。以向量空间为几何模型帮助学生理解有关概念，让学生弄清线性空间的代数结构，建立以同构的观点解决问题。3、教学重点：以线性空间维数和基为重点．4、教学难点：难点为对同构和直和的理解．5、各章节教学时间分配进度安排：6、主要教学环节的组织：§1数域；§2 n维向量；§3线性空间；§4 向量的线性关系：线性相关，线性无关；§5 基和维数：极大无关组，向量组的秩，基，维数，坐标，基扩张定理，同构；§6 基变换与过渡矩阵；§7子空间：子空间及其判别，生成子空间，子空间的交，子空间的和，子空间的直和，维数公式；§8 矩阵的秩：向量组的等价，行秩，列秩，秩的性质，秩的计算；§9 线性方程组的解：有解、无解的判定，解的性质，解的结构，解的计算.

第四章       线性变换（18学时）1、教学内容：用线性映射的观点研究线性空间。引入线性变换后，研究线性变换与矩阵的关系，矩阵对角化的方法并引入了线性变换的值域与核．2、教学目的及要求：通过研究线性变换，要求学生在理解概念的基础上掌握线性映射与线性相关性的关系、线性映射与子空间的关系（尤其是像空间与核空间）以及由空间的基确定线性映射的方法．3、教学重点：以线性变换在不同基下矩阵的关系，矩阵的对角化及不变子空间为重点．4、教学难点：线性变换在不同基下对应不同的矩阵，线性变换的值域与核，线性空间按特征值分解成不变子空间的直和，为本章难点．5、各章节教学时间分配进度安排：6、主要教学环节的组织：§1 线性映射的概念：线性映射，单线性映射，满线性映射，双射（线性同构），自同构；§2 线性映射的运算：运算及运算规律，L(V,U)，L (V)；§3 线性映射与矩阵：线性变换在一组基下的表示矩阵，线性变换与其在一组基下表示矩阵的关系，坐标变换公式，线性变换在不同基下的矩阵，相似矩阵的性质；§4 线性映射的像与核：像空间，核空间，线性映射的秩与零度，交换图，维数公式；§5 不变子空间：不变子空间，诱导变换，线性变换在子空间上的限制，线性变换与不变子空间的关系.

第五章       多项式（36学时）1、教学内容：介绍本章的重要定理：因式分解及唯一性定理和复系数、实系数多项式因式分解定理，并把有理系数多项式的因式分解问题归纳为整系数多项式的因式分解来讨论．2、教学目的及要求：通过本章学习，使学生掌握带余除法、因式分解定理、复系数与实系数的因式分解及有理系数多项式的有关结论．3、教学重点：以因式分解及唯一性定理和有理系数多项式为重点．4、教学难点：有理系数多项式为难点．5、各章节教学时间分配及进度安排： 6、主要教学环节的组织：§1一元多项式代数：多项式的相关概念，多项式的运算，多项式的代数性质；§2 整除：整除的概念，整除的性质，带余除法；§3 最大公因式：最大公因式，最大公因式的唯一性、存在性，Euclidean辗转相除法，互素；互素的性质及判定；§4 因式分解：可约多项式，不可约多项式及其性质，因式分解定理，标准分解式，重因式，单因式，重因式的判定与求法；§5 多项式函数：多项式的根，余数定理，根的个数；§6复系数多项式：代数基本定理，复数域上多项式的分解，Vieta定理，三次复系数多项式的Cardan公式，四次复系数多项式Ferrari解法；§7 实系数多项式：实系数多项式的不可约多项式，实系数多项式的分解；区间内根的个数的判定；§8 有理系数多项式：有理系数多项式的根，本原多项式，Gauss引理，Eisenstein判别法；§9 多元多项式：基本概念，多元多项式中单项式的排列次序，两个结论(关于乘积首项和次数)；§10 对称多项式：对称多项式，初等对称多项式，对称多项式的基本定理；§11 结式和判别式：结式，判别式，多项式的根与判别式的关系.

第六章       特征值（15学时）1、教学内容：介绍特征值、特征向量的概念，并应用其进一步探讨线性变换与矩阵的对应以及极小多项式．2、教学目的及要求：通过本章学习，使学生掌握矩阵特征值与特征向量的计算、相似矩阵的性质及矩阵可对角化的判定和计算．3、教学重点：以矩阵相似为重点．4、教学难点：可对角化为难点．5、各章节教学时间分配及进度安排： 6、主要教学环节的组织：§1 特征值和特征向量：特征多项式及其性质，特征值、特征向量及其求法；§2 对角化：矩阵可对角化的判定和计算，特征子空间，特征值的代数重数、几何重数，完全特征向量系；§3 极小多项式与Cayley-Hamilton定理； §4 特征值的估计：圆盘定理.

第七章       相似标准型（30学时）1、教学内容：对给定的线性变换，以矩阵作为工具，寻找相似矩阵的不变量，进而找出一组基，使得该线性变换在这组基下的表示矩阵具有最简单的形状——Jordan标准型．讨论空间分解为特殊的A-子空间：根子空间，循环子空间的直和与Jordan标准型的对应. 2、教学目的及要求：通过本章学习，使学生了解多项式矩阵与矩阵多项式的关系，λ－矩阵的相抵与矩阵相似的关系．掌握行列式因子、初等因子、不变因子与有理标准型的关系，以及Jordan标准型的含义及相关命题．3、教学重点：以Jordan标准型重点．4、教学难点：以全系不变量、A-子空间的直和与Jordan标准型的对应为难点．5、各章节教学时间分配及进度安排： 6、主要教学环节的组织：§1 多项式矩阵：λ-矩阵，λ-矩阵的相抵，初等λ-矩阵；§2 矩阵的法式；§3 不变因子：行列式因子，不变因子；§4 有理不标准型；§5 初等因子：初等因子，矩阵相似的全系不变量；§6 Jordan标准型：§7 Jordan 标准型的进一步讨论和应用举例：根子空间，循环子空间，A-不变子空间的直和与Jordan标准型的对应；§8 矩阵函数.

第八章       二次型（15学时）1、教学内容：通过二次型和正定二次型的概念的讲解，全面讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定．2、教学目的及要求：使学生掌握用非退化线性替换，化二次型为标准形及判断二次型的正定性．3、教学重点：以配方法和初等变换法化标准形和正定性的判别为重点．4、教学难点：化标准形和正定性的判别为难点．5、各章节教学时间分配进度安排：6、主要教学环节的组织：§1二次型与矩阵的合同：二次型，二次型矩阵，替换前后二次型句镇的关系；§2二次型的化简：配方法，初等变换法；§3 惯性定理：实二次型的规范标准型（正惯性指数，负惯性指数，符号差），复二次型的规范标准型；§4 正定型与正定矩阵：正定阵、负定阵的性质及判定；§5 Hermite型：复相合，Hermite型的标准型，Hermite型的惯性定理，Hermite矩阵.

第九章       欧氏空间(21学时)1、教学内容：在线性空间引入内积，得到欧氏空间，进而对欧氏空间的结构及变换进行了讲解．2、教学目的及要求：使学生掌握欧氏空间的度量性质，正交变换和对称变换．3、教学重点：以内积、标准正交基及利用正交变换化实对称矩阵为对角形为重点．4、教学难点：标准正交基的求法与用正交变换化实对称矩阵为对角形为难点．5、各章节教学时间分配进度安排：6、主要教学环节的组织：§1内积空间的概念：相关概念，Cauchy-Schwarz不等式，三角不等式；§2正交基：标准正交基的存在性及求法，正交补空间，度量矩阵，Bessel不等式；§3 伴随：线性算子，伴随，伴随与表示矩阵的关系；§4 正交变换与酉矩阵：保内积，保内积线性映射的等价命题，正交变换与正交阵的判别及性质，酉变换与酉矩阵的判定及性质；§5 自伴随算子：正交（酉）相似，自伴随算子，对称（酉）算子的性质，实对称（Hermite）矩阵正交相似的全系不变量，实对称矩阵的正交相似标准型.

三、教学参考书

1、    姚慕生编著，高等代数（指导丛书），复旦大学出版社（2003）

2、    北京大学数学系编，高等代数，高等教育出版社，北京（1987）

3、    张禾瑞、郝炳新，高等代数，高等教育出版社，北京（1999）

4、    樊恽、郑延履、刘合国，线性代数学习指导，科学出版社，北京（2003）